已知函數(shù)
(I)如果對(duì)任意x∈[1,2],f′(x)>a2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1,x2判斷下列三個(gè)代數(shù)式:①x1+x2+a,②,③
中有幾個(gè)為定值?并且是定值請(qǐng)求出;若不是定值,請(qǐng)把不是定值的表示為函數(shù)g(a),并求出g(a)的最小值.
【答案】分析:(I)根據(jù)函數(shù)f(x)表達(dá)式,求出其導(dǎo)數(shù)f'(x)=x2+(a-3)x+a2-3a,因此將不等式f′(x)>a2化簡(jiǎn)成(x-3)(x+a)>0,對(duì)任意x∈[1,2]恒成立,從而得到x+a<0對(duì)x∈[1,2]恒成立,由此即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)根據(jù)題意,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式,可得x1+x2+a=3為定值,且也為定值.而化簡(jiǎn)=3a3-9a2+27可得它不是定值,從而得到g(a)=3a3-9a2+27(-1<a<3),利用導(dǎo)數(shù)研究g(a)在區(qū)間(-1,3)上的單調(diào)性,并結(jié)合函數(shù)值的大小比較,即可得到出g(a)的最小值.
解答:解:(I)由
得f'(x)=x2+(a-3)x+a2-3a,對(duì)任意x∈[1,2],f'(x)>a2恒成立,
即x2+(a-3)x-3a>0,(x-3)(x+a)>0對(duì)任意x∈[1,2]恒成立,
又x-3<0恒成立,所以x+a<0對(duì)x∈[1,2]恒成立,所以a<-x恒成立,
所以a<-2.…(4分)
(II)依題意知x1,x2恰為方程f'(x)=x2+(a-3)x+a2-3a=0的兩根,
所以解得-1<a<3…(5分)
所以①x1+x2+a=3為定值,…(6分)
為定值,…(7分)
不是定值
即g(a)=3a3-9a2+27(-1<a<3),可得g'(a)=9a2-18a,
當(dāng)a∈[-1,0]時(shí),g'(a)>0,g(a)=3a3-9a2+27在a∈[-1,0]是增函數(shù),
當(dāng)a∈[0,2]時(shí),g'(a)<0,g(a)=3a3-9a2+27在a∈[-1,0]是減函數(shù),
當(dāng)a∈[2,3]時(shí),g'(a)>0,g(a)=3a3-9a2+27在a∈[2,3]是增函數(shù),
因此,g(a)在(-1,3)上的最小值是g(-1)與g(2)中較小的一個(gè),
又∵g(-1)=15;g(2)=15
∴g(a)=3a3-9a2+27(-1<a<3)的最小值為15(a=2時(shí)取到).…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題給出三次多項(xiàng)函數(shù),在不等式恒成立的情況下求實(shí)數(shù)a的取值范圍并討論了函數(shù)的極值問(wèn)題.著重考查了三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等知識(shí),屬于中檔題.
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已知函數(shù),其中.

(I)若函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;

(II)已知,如果存在,使得函數(shù)處取得最小值,試求的最大值.

 

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(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)

(I)當(dāng)時(shí),如果關(guān)于的方程:有且只有一個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(II)當(dāng)時(shí),試比較與1的大;

(Ⅲ)求證:

 

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(本小題滿(mǎn)分12分)

已知函數(shù)

(I)將函數(shù)f(x)寫(xiě)成f(x)=)的形式,并求其圖像對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo);

(Ⅱ)如果△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角分別為A ,B ,C且滿(mǎn)足,且邊b所對(duì)的角為B,試求角B的取值范圍及此時(shí)函數(shù)f(B)的值域.

 

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.已知函數(shù)

(1)如果,求的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)如果,函數(shù)處取得極值.

(i)求證:

(ii)求證:

 

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