Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+a

2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值．
（2）已知不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）是R上的奇函數(shù)，得f（0）=0，求出a的值；
（2）由f（x）是R上的奇函數(shù)且是減函數(shù)，把不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0轉(zhuǎn)化為log_m

3

4

＜log_mm，再討論m的取值，求出不等式成立的m的取值范圍．

解答： 解；（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
令x=0，則f（0）=0，
即

-20+a

20+1

=

a-1

2

=0，
∴a=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

；
（2）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0
等價(jià)于f（log_m

3

4

）＞-f（-1）=f（1），
又∵f(x)=

1-2x

1+2x

=

-2x-1+2

2x+1

=-1+

2

1+2x

是R上的減函數(shù)，
∴l(xiāng)og_m

3

4

＜1=log_mm，
∴當(dāng)0＜m＜1時(shí)，

3

4

＞m，即0＜m＜

3

4

；
當(dāng)m＞1時(shí)，

3

4

＜m，即m＞1；
綜上，m的取值范圍是m∈（0，

3

4

）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．