(14分)如圖，在三棱錐S—ABC中，是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA =" SC" =，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。

⑴ 求證：AC⊥SB；
⑵ 求二面角N—CM—B的正切值；
⑶ 求點(diǎn)B到平面CMN的距離。

⑴取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB∴SO⊥平面ABC，SO⊥BO如圖建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz
  ⑵  ⑶

解析試題分析：⑴ 取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB

∵平面平面ABC，平面SAC平面ABC=AC
∴SO⊥平面ABC， SO⊥BO
如圖建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz
則



⑵ 由⑴得
設(shè)為平面CMN的一個(gè)法向量，則，取
則
又為平面ABC的一個(gè)法向量

⑶ 由⑴⑵得為平面CMN的一個(gè)法向量
∴點(diǎn)B到平面CMN的距離……14分
考點(diǎn)：線線垂直的判定，二面角點(diǎn)面距的計(jì)算
點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是由已知條件找到建立空間直角坐標(biāo)系的合適位置，進(jìn)而找到相關(guān)點(diǎn)，向量的坐標(biāo)，代入線面角點(diǎn)面距的向量計(jì)算公式求解，有一定的難度

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題12分）
如圖，在中，為邊上的高，，沿將翻折，使得得幾何體

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求點(diǎn)D到面ABC的距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分10分）
如圖，在棱長為3的正方體中，.

⑴求兩條異面直線與所成角的余弦值；
⑵求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn).(1)求證:PB⊥DM;(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在點(diǎn)E,且PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角為60o.若存在求出λ值，若不存在，請(qǐng)說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）
如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且SA=SB=SC，SG為△SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并給予證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分14分）
如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC．

（Ⅰ）求證：PA∥平面QBC；
（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分16分）如圖：AD=2,AB=4的長方形所在平面與正所在平面互相垂直，分別為的中點(diǎn)．

（1）求四棱錐-的體積；
（2）求證：平面；
（3）試問：在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，試指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）在正四棱錐中，側(cè)棱的長為，與所成的角的大小等于．

（1）求正四棱錐的體積；
（2）若正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，求此球的半徑．

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