Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值；

（3）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）的極大值，函數(shù)無(wú)極小值;（3）.

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程，（2）求函數(shù)極值，先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)在定義域上的零點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律確定是否為極值以及極大值、極小值，（3）不等式恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題，而求含參數(shù)函數(shù)最值，往往需要討論，討論點(diǎn)一般為使導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化的值.

試題解析：（1）由題，所以，

所以切線方程為：

（2）由題時(shí)， ，所以

所以； ，

所以在單增，在單減，所以在取得極大值.

所以函數(shù)的極大值，函數(shù)無(wú)極小值

（3），令，

，令，

（1）若， ， 在遞增，

∴在遞增， ，從而，不符合題意

（2）若，當(dāng)， ，∴在遞增，

從而，以下論證同（1）一樣，所以不符合題意

（3）若， 在恒成立，

∴在遞減， ，

從而在遞減，∴， ，

綜上所述， 的取值范圍是.