Question

（2008•廣州二模）已知函數(shù)f（x）=

x2

2x+1

（x＞0）
（1）當(dāng)x₁＞0，x₂＞0且f（x₁）•f（x₂）=1時，求證：x₁•x₂≥3+2

2

（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1a_n＞0a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由x₁＞0，x₂＞0，f（x₁）•f（x₂）=1，知

x12

2x1+1

•

x22

2x2+1

=1，故(x1x2)2=(2x1+1)(2x2+1)≥4x1x2+4

x1x2

 +1=（2

x1x2

+1）²．故x1x2≥2

x1x2

+1，由此能夠證明x₁•x₂≥3+2

2

．
（2）法一：由a₁=1，a_n＞0，an+1=f(an)=

an2

2an+1

，知

1

an+1

=

2an+1

an2

=

2

an

+

1

an2

=(1+

1

an

)2-1，故1+

1

an+1

=(1+

1

an

)2，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
解法二：由a₁=1，a_n＞0，an+1=f(an)=

an2

2an+1

，知

an+1

1+an+1

=

an2 2an+1

1+ an2 2an+1

=(

an

1+an

)2，故lg(

an+1

1+an+1

)=2lg(

an

1+an

)，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：（1）證明：∵x₁＞0，x₂＞0，f（x₁）•f（x₂）=1，
∴

x12

2x1+1

•

x22

2x2+1

=1，…（2分）
∴(x1x2)2=(2x1+1)(2x2+1)
=4x₁x₂+2（x₁+x₂）+1
≥4x1x2+4

x1x2

 +1
=（2

x1x2

+1）²．…（4分）
∴x1x2≥2

x1x2

+1，
∴(

x1x2

-1)2≥2，
∴

x1x2

-1≥ 

2

，或

x1x2

-1≤-

2

（舍去）．
∴

x1x2

≥

2

+1，
∴x1x2≥(

2

+1)2=3+2

2

．…（6分）
（2）解法一：∵a₁=1，a_n＞0，an+1=f(an)=

an2

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2an+1

an2

=

2

an

+

1

an2

=(1+

1

an

)2-1，
∴1+

1

an+1

=(1+

1

an

)2．…（8分）
∴lg(1+

1

an+1

)=lg(1+

1

an

)2=2lg(1+

1

an

)．…（10分）
∴數(shù)列{lg(1+

1

an

)}是首項為lg（1+

1

a1

）=lg2，公比為2的等比數(shù)列．
∴lg(1+

1

an

)=2n-1•lg2=lg22n-1．…（12分）
∴1+

1

an

=22n-1，
∴an=

1

22n-1-1

．…（14分）
解法二：∵a₁=1，a_n＞0，an+1=f(an)=

an2

2an+1

，
∴

an+1

1+an+1

=

an2 2an+1

1+ an2 2an+1

=

an2

an2+2an+1

=(

an

1+an

)2，…（8分）
∴lg(

an+1

1+an+1

)=lg(

an

1+an

)2=2lg(

an

1+an

)．…（10分）
∴數(shù)列{lg(

a n

1+an

)}是首項為lg(

a1

1+a1

)=lg

1

2

，公比為2的等比數(shù)列．
∴lg(

an

1+an

)=2n-1•lg

1

2

=lg(

1

2

)2n-1，…（12分）
∴

an

1+an

=(

1

2

)2n-1，
∴an=

1

22n-1-1

．…（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)及其性質(zhì)、不等式及其性質(zhì)、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．