Question

已知雙曲線x²-2y²=2的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的過(guò)程．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂且不垂直與坐標(biāo)軸的動(dòng)直線a交軌跡E與A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)在y軸上是否存在一點(diǎn)D使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，試判斷點(diǎn)D的活動(dòng)范圍：若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）雙曲線的方程可化為-y²=1，則|FF₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，由此知點(diǎn)P的軌跡E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，并能求出其方程．
（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)D（0，m），設(shè)直線a的方程為y=k（x-），代入橢圓方程得：（1+4k²）x²-8k²x+12k²-4=0，再由韋達(dá)定理結(jié)合分類討論思想能夠推導(dǎo)出滿足條件的點(diǎn)D存在，其活動(dòng)范圍是滿足-≤y≤且y≠0的區(qū)域．
解答：解：（1）雙曲線的方程可化為-y²=1，則|FF₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，
所以點(diǎn)P的軌跡E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，其方程為+y²=1．（3分）
（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)D（0，m），設(shè)直線a的方程為y=k（x-）（k≠0）
代入橢圓方程得：（1+4k²）x²-8k²x+12k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=
=（x₁，y₁-m），=（x₂，y₂-m），
=（ x₁+x₂，y₁+y₂-2m），（6分）
又=λ（1，k） （λ=x₂-x₁），
∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，∴（+）⊥
∴（+）•=0，即+-2mk=0，整理得：-2mk=0，（8分）
∵k≠0，∴m==
若k＞0，則≤（當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)取等號(hào)），即m∈（0，]（10分）
若k＜0，則≥-（當(dāng)且僅當(dāng)k=-時(shí)取等號(hào)），即m∈[-，0）（11分）
綜上，滿足條件的點(diǎn)D存在，其活動(dòng)范圍是滿足-≤y≤且y≠0的區(qū)域．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．