Question

11．在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為45°，若E是PB的中點，則異面直線DE與PA所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{3\sqrt{10}}}{20}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{20}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 取AB的中點F，連接EF，DF，則EF∥PA．從而∠DEF為異面直線DE與PA所成角（或補角）．由此能求出異面直線DE與PA所成角的余弦值．

解答 解：取AB的中點F，連接EF，DF，
∵E為PB中點，∴EF∥PA．
∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角（或補角）．
又∵∠PBO=45°，BO=1，
∴PO=1，PB=$\sqrt{2}$
在Rt△AOB中，
AO=AB•cos30°=$\sqrt{3}$=OP，
∴在Rt△POA中，PA=2，
∴EF=1．
∵四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，
∴△ABD為正三角形．∴DF=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∵PB=PD=$\sqrt{2}$，BD=2，∴△PBD為等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴cos∠DEF=$\frac{\frac{5}{2}+1-3}{2×\frac{\sqrt{10}}{2}×1}$=$\frac{\sqrt{10}}{20}$．
即異面直線DE與PA所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{20}$．
故選：B．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．