Question

關(guān)于函數(shù)（x∈R）有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②y=f（x）的圖象可由y=2cos2x的圖象向右平移個(gè)單位得到；
③y=f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
④y=f（x）在區(qū)間上是減函數(shù)．
其中是假命題的序號(hào)有    ．

Answer 1

【答案】分析：先把f（x）化為f（x）=．
①根據(jù)f（x₁）=f（x₂）=0可得，對(duì)k討論即可；
②把f（x）向右平移個(gè)單位可得，再化簡(jiǎn)比較即可；
③若y=f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則必有，否則關(guān)于直線不對(duì)稱；
④利用y=sinx在區(qū)間單調(diào)遞減進(jìn)行判斷即可．
解答：解：∵f（x）===．
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得=0，
∴，．
∴2x₁-2x₂=（k₁-k₂）π，
∴．
當(dāng)k=2n（n∈Z）時(shí)，x₁-x₂=nπ，此時(shí)x₁-x₂是π的整數(shù)倍；
當(dāng)k=2n+1，（n∈Z）時(shí)，=，此時(shí)x₁-x₂不是π的整數(shù)倍；
故①不正確；
②由y=2cos2x的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)==2=≠，故②不正確；
③==0≠±2，故y=f（x）的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱，∴③不正確；
④∵，∴，∴函數(shù)f（x）=在區(qū)間上是減函數(shù)，∴④正確．
綜上可知：假命題是①②③．
故答案為①②③．
點(diǎn)評(píng)：正確理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的對(duì)稱性、單調(diào)性和平移變換等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．