Question

設直線kx-y+1=0被圓O：x²+y²=4所截弦的中點的軌跡為C，則曲線C與直線x+y-1=0的位置關系為（　�。�

• A、相離
• B、相切
• C、相交
• D、不確定

Answer 1

分析：設C上任意一點的坐標為A（x，y），由

y-0

x-0

×k=-1，求出k后代入直線kx-y+1=0求得曲線C的方程，由圓心（0，

1

2

）到直線x+y-1=0的距離小于半徑得到曲線C與直線x+y-1=0相交．

解答：解：弦的中點的軌跡為C，設C上任意一點的坐標為A（ x，y ），則由弦的性質得 OA垂直于直線kx-y+1=0，
∴

y-0

x-0

×k=-1，即 k=

-x

y

．又點A（ x，y ）還在直線kx-y+1=0上，
∴

-x

y

•x-y+1=0，x²+(y-

1

2

)2=

1

4

，故曲線C表示以（0，

1

2

）為圓心，以

1

2

為半徑的圓．
∵圓心（0，

1

2

）到直線x+y-1=0的距離等于

|0+ 1 2 -1|

2

=

2

4

＜

1

2

（半徑），
故曲線C與直線x+y-1=0相交，
故選C．

點評：本題考查求點的軌跡方程的求法，直線和圓相交的性質，求曲線C的軌跡方程是解題的關鍵．