Question

8．拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，圓M與y軸相切，過原點(diǎn)O作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線m，交直線l于點(diǎn)A，交圓M于不同的兩點(diǎn)O、B，且|AO|=|BO|=2，若P為拋物線C上的動點(diǎn)，則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$的最小值為（　�。�

• A． -2
• B． 2
• C． $\frac{7}{4}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程，表示出$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$，然后根據(jù)點(diǎn)在拋物線上將y消去，求關(guān)于x 的二次函數(shù)的最小值即可；

解答 解：因?yàn)?\frac{p}{2}$=OA•cos$\frac{π}{3}$=2×$\frac{1}{2}$=1，即p=2，所以拋物線C的方程為y²=4x，
設(shè)⊙M的半徑為r，則$\frac{OB}{2}•\frac{1}{cos\frac{π}{3}}$=2，所以⊙M的方程為（x-2）²+y²=4
設(shè)P（x，y）（x≥0），則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$=x²-3x+2+y²=x²+x+2，
所以當(dāng)x=0時，有最小值為2
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查了圓的方程和拋物線方程，以及向量數(shù)量積的最值，屬于中檔題．