【題目】已知橢圓的離心率為，且以橢圓的兩焦點和短軸的一個端點為頂點的三角形的周長恰為.

（1）求橢圓的標(biāo)準方程；

（2）動直線與拋橢圓相交于，兩點，問：在軸上是否存在定點（其中，使得向量與向量共線（其中為坐標(biāo)原點）？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的焦點三角形的周長為，再由離心率得出關(guān)系，求出值，即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)與角平分線共線，又與共線，得到軸為的角平分線，轉(zhuǎn)化為的傾斜角互補，斜率和為零，聯(lián)立直線和橢圓方程，運用根與系數(shù)，將斜率和轉(zhuǎn)化為關(guān)系，即可求解.

（1）橢圓的離心率為，

即有，

橢圓的兩焦點和短軸的一個端點為頂點的三角形的周長恰為，

可得，解得，，

則橢圓的方程為；

（2）在軸上假設(shè)存在定點（其中，

使得與向量共線，

由，均為單位向量，且它們的和向量與共線，

可得軸平分，

設(shè)，，，，

聯(lián)立和，

得，

△恒成立.

，①

設(shè)直線、的斜率分別為，，

則由得，

，

，②

聯(lián)立①②，得，

故存在滿足題意，

綜上，在軸上存在一點，使得軸平分，

即與向量共線.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲居住在城鎮(zhèn)的處,準備開車到單位處上班,若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如：算作兩個路段：路段發(fā)生堵車事件的概率為,路段發(fā)生堵車事件的概率為).

(1)請你為甲選擇一條由到的最短路線

(即此人只選擇從西向東和從南向北的路線),

使得途中發(fā)生堵車事件的概率最��；

(2)設(shè)甲在路線中遇到的堵車次數(shù)為隨機變量,求的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線：=0(a>0)，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；

(1)求曲線，的極坐標(biāo)方程;

(2)已知極坐標(biāo)方程為=的直線與曲線，分別相交于P，Q兩點（均異于原點O），若|PQ|=﹣1，求實數(shù)a的值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時,求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)時，有兩個零點；

（3）若，函數(shù)在處取得最小值，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，若的面積為，求直線l與y軸交點的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉時間，采用簡單隨機抽樣方法抽取了100名學(xué)生，對其平均每日參加體育鍛煉的時間（單位：分鐘）進行調(diào)查，按平均每日體育鍛煉時間分組統(tǒng)計如下：

分組

男生人數(shù)

2

16

19

18

5

3

女生人數(shù)

3

20

10

2

1

1

若將平均每日參加體育鍛煉的時間不低于120分鐘的學(xué)生稱為“鍛煉達人”．

（1）將頻率視為概率，估計該校4000名學(xué)生中“鍛煉達人”有多少？

（2）從這100名學(xué)生的“鍛煉達人”中按性別分層抽取5人參加某項體育活動．

①求男生和女生各抽取了多少人？

②若從這5人中隨機抽取2人作為組長候選人，求抽取的2人中男女各1人的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，EB垂直于菱形ABCD所在平面，且EB＝BC＝2，∠BAD＝60°，點G、H分別為線段CD、DA的中點，M為BE上的動點．

（Ⅰ）求證：GH⊥DM；

（Ⅱ）當(dāng)三棱錐D﹣MGH的體積最大時，求三角形MGH的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，國資委.黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅決貫徹落實中央扶貧工作重大決策部署，在各個貧困縣全力推進定點扶貧各項工作，取得了積極成效，某貧困縣為了響應(yīng)國家精準扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管理時間的關(guān)系如下表所示：

土地使用面積（單位：畝）

1

2

3

4

5

管理時間（單位：月）

8

10

13

25

24

并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿，得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示:

愿意參與管理

不愿意參與管理

男性村民

150

50

女性村民

50

（1）求出相關(guān)系數(shù)的大小，并判斷管理時間與土地使用面積是否線性相關(guān)？

（2）是否有99.9%的把握認為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性？

（3）若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計貧困縣的情況，則從該貧困縣中任取3人，記取到不愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

參考公式：

其中。臨界值表：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把圖象上所有的點的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱

C.的一個零點為D.在上單調(diào)遞減

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