Question

6．如圖所示，某班一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，其中，頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，據(jù)此解答如下問題．

（Ⅰ）求全班人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[80，100]之間的頻率；
（Ⅱ）現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在[80，100]之間的試卷中任取 3 份分析學(xué)生情況，設(shè)抽取的試卷分?jǐn)?shù)在[90，100]的份數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）利用莖葉圖的性質(zhì)、頻率的計(jì)算公式即可得出．
（II）[80，90）的人數(shù)為6人；分?jǐn)?shù)在[90，100）的人數(shù)為4人X的取值可能為0，1，2，3．再利用超幾何分布列的概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖知分?jǐn)?shù)在[50，60）的人數(shù)為4人；[60，70）的人數(shù)為8人；[70，80）的人數(shù)為10人．
∴總?cè)藬?shù)為$\frac{4}{0.0125×10}=32$…．（3分）
∴分?jǐn)?shù)在[80，100）人數(shù)為32-4-8-10=10人，∴頻率為$\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$…．（5分）
（Ⅱ）[80，90）的人數(shù)為6人；分?jǐn)?shù)在[90，100）的人數(shù)為4人X的取值可能為0，1，2，3．
$P（X=0）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，$P（X=1）=\frac{C_6^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，
$P（X=2）=\frac{C_6^1C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$，$P（X=3）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$．…（10分）
∴分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

E（X）=0+$1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}$=$\frac{6}{5}$．…．（12分）

點(diǎn)評 本題考查了超幾何分布列的概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式、莖葉圖的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．