Question

如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知，為線段的中點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

證明：（1）見解析；（2）二面角的平面角的余弦值為.

試題分析：證明：（1）注意做輔助線，連結(jié)和交于，連結(jié)，
根據(jù)為中點，為中點，得到
， 即證得平面；
（2）應(yīng)用已知條件，研究得到，
平面，，創(chuàng)造建立空間直角坐標(biāo)系的條件，通過
以為原點，以為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
應(yīng)用“向量法”解題；
解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點所在，平時學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng)，能從“非規(guī)范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標(biāo)系的條件.
試題解析：證明：（1）連結(jié)和交于，連結(jié)，                                 1分
為正方形，為中點，為中點，
，                                                              3分
平面，平面
平面．                                                        4分
（2）平面，平面，，
為正方形，，
平面，
平面，
平面，                                           6分
以為原點，以為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則，，，
平面，平面，
，
為正方形，，
由為正方形可得：，
設(shè)平面的法向量為
，
由，令，則
                                                           8分
設(shè)平面的法向量為，
，
由 ，令，則，
                                                     10分
設(shè)二面角的平面角的大小為，則

二面角的平面角的余弦值為                             12分