設(shè)函數(shù)f(x)=x|x-a|+b,求證:f(x)為奇函數(shù)的充要條件是a2+b2=0.

證明見試題解析.

解析試題分析:充要條件的證明要分別證明充分性和必要性,.本題充分性是由證明為奇函數(shù),必要性是由為奇函數(shù)證明.
試題解析:證明充分性:∵a2+b2=0,∴a=b=0,       2
∴f(x)=x|x|                  3
∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|,-f(x)=-x|x|,           4
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù)        6
必要性:若f(x)為奇函數(shù),則對(duì)一切x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立     7
即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b恒成立           8
令x=0,則b=-b,∴b=0,            10
令x=a,則2a|a|=0,∴a=0                11
即a2+b2=0       12
考點(diǎn):充要條件

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知,命題函數(shù)上單調(diào)遞減,命題曲線軸交于不同的兩點(diǎn),若為假命題,為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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已知命題:方程表示橢圓;:方程表示雙曲線. 若“”為真,“” 為假,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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設(shè)命題;命題:不等式對(duì)任意恒成立.若為真,且為真,求的取值范圍.

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命題函數(shù)既有極大值又有極小值;
命題直線與圓有公共點(diǎn).
若命題“”為真,且命題“”為假,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根;不等式的解集為.若“”為真命題,“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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命題:不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立;命題:已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線恰好與直線平行,且上單調(diào)遞減.若命題為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知命題,且,命題,且.
(Ⅰ)若,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)若的充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知條件p: 條件q: 的充分但不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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