Question

（類型A）已知函數(shù)f（x）=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，證明：
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)
（2）當(dāng)a≤4時(shí)，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|
（類型B）某旅行社在暑假期間推出如下旅游團(tuán)組團(tuán)辦法：達(dá)到100人的團(tuán)體，每人收費(fèi)1000元．如果團(tuán)體的人數(shù)超過100人，那么每超過1人，每人平均收費(fèi)降低5元，但團(tuán)體人數(shù)不能超過180人．如何組團(tuán)，可使旅行社的收費(fèi)最多？

Answer 1

分析：（類型A）（1）將x₁，x₂代入整理，整理出關(guān)于x₁，x₂的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式使用條件，再由基本不等式可證．
（2）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，將x₁，x₂代入整理變形，轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，有 2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x1x2

＞1恒成立，從而得證．
（類型B）設(shè)有x人參加旅行團(tuán)，收費(fèi)共y元，則有：y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180），求出對(duì)稱軸得到函數(shù)的最大值．

解答：解：（類型A）證明：（1）由 f(x)=x2+

2

x

+alnx
得

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(x12+x22)+(

1

x1

+

1

x2

)+

a

2

(lnx1+lnx2)=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

f(

x1+x2

2

)=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

而

1

2

(x12+x22)＞

1

4

[(x12+x22)+2x1x2]2=(

x1+x2

2

)2①
又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂＞4x₁x₂
∴

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

②
∵

x1x2

＜

x1+x2

2

∴ln

x1x2

＜ln

x1+x2

2

∵a≤0
∴aln

x1x2

＞aln

x1+x2

2

③
由①、②、③得

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

＞(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1x2

即

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．
（2）：由 f(x)=x2+

2

x

+alnx，得 f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

∴|f′(x1)-f′(x2)|=|(2x1-

2

x12

+

a

x1

)-(2x2-

2

x22

+

a

x2

)|=|x1-x2|•|2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x1x2

||f′(x1)-f′(x2)|＞|x1-x2|?|2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x1x2

|＞1
下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，有 2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x1x2

＞1恒成立
即證 a＜x1x2+

2(x1+x2)

x1x2

成立
∵x1x2+

2(x1+x2)

x1x2

＞x1x2+

4

x1x2

設(shè) t=

x1x2

，u(x)=t2+

4

t

(t＞0)，
則 u′(x)=2t-

4

t2

，
令u′（x）=0得 t=

3	2

，列表如下：
u(t)≥3

3	4

=

3	108

＞4≥a
∴x1x2+

2(x1+x2)

x1x2

＞a
∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，恒有|f'（x₁）-f'（x₂）|＞|x₁-x₂|．
（類型B）設(shè)有x人參加旅行團(tuán)，收費(fèi)共y元，則有：
y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180）．
整理得：y=-5x²+1500x=-5（x-150）²+112500．
所以當(dāng)x=150人時(shí)，旅行團(tuán)的收費(fèi)最多為112500元．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力．