已知銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，且2sin(c+
π
3
)=sin2C+sin
π
3
．
（1）求角C的大��；
（2）若a=4，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，
AD
•
AC
=2
AB
•
AC
，求△ABC的面積．
分析：（1）根據(jù)兩角和的正弦公式和二倍角三角函數(shù)公式，將已知等式化簡(jiǎn)整理得：sinC+
3
cosC=2sinCcosC+
3
2
，再因此分解得（2cosC-1）（
3
2
-sinC）=0，最后結(jié)合△ABC是銳角三角形，可得出C=
π
3
；
（2）D是BC的中點(diǎn)，得
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
），代入
AD
•
AC
=2
AB
•
AC
并化簡(jiǎn)整理，得2
AC
2=3
BC
•
AC
=
3
2
|
BC
|•|
AC
|，
因此，|
AC
|=
3
4
|
BC
|即b=
3
4
a=3，再由正弦定理的面積公式，即可算出△ABC的面積．
解答：解：（1）∵2sin(c+
π
3
)=sin2C+sin
π
3

∴2（sinCcos
π
3
+cosCsin
π
3
）=2sinCcosC+
3
2

即sinC+
3
cosC=2sinCcosC+
3
2
，移項(xiàng)整理得：（2cosC-1）（
3
2
-sinC）=0
∴cosC=
1
2
或sinC=
3
2
，結(jié)合C為銳角，可得C=
π
3

（2）∵D是BC的中點(diǎn)，得
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
）
∴
AD
•
AC
=2
AB
•
AC
即
1
2
（
AB
+
AC
）•
AC
=2
AB
•
AC

化簡(jiǎn)整理，得
AC
2=3
AB
•
AC
=3（
AC
+
CB
）•
AC

∴2
AC
2=3
BC
•
AC
=3|
BC
|•|
AC
|cosC=
3
2
|
BC
|•|
AC
|
因此，|
AC
|=
3
4
|
BC
|即b=
3
4
a=3
∴△ABC的面積S=
1
2
absinC=
1
2
×4×3×sinC=3
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題給出銳角三角形，在已知三角等式的情況下求角C的大小，求三角形的面積，著重考查了兩角和的正弦公式、正弦定理和向量數(shù)量積的運(yùn)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知銳角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=
2
，b=
3
，B=
π
3
．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)=cosB•sin2x+cos2x，當(dāng)x∈[-
π
4
，0]時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知銳角△ABC中的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C．
（1）設(shè)
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，求證：△ABC是等腰三角形；
（2）設(shè)向量
s
=（2sinC，-
3
），
t
=（cos2C，2cos2
C
2
-1），且
s
∥
t
，若sinA=
2
3
，求sin（
π
3
-B）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•淮安模擬）已知銳角△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=6，向量
s
=（2sinC，-
3
），
t
=（cos2C，2cos2
C
2
-1），且
s
∥
t
．
（1）求C的大��；
（2）若sinA=
1
3
，求sin(
π
3
-B)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A?＞0，ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知銳角△ABC中的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若有f（
A
π
）=
3
2
，邊BC=
7
，sin B=
21
7
求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，兩向量
p
=（2-2sinA，cosA+sinA），
q
=（sinA-cosA，1+sinA），若
p
與
q
是共線向量．
（1）求∠A的大��；  
（2）求函數(shù)y=2sin2B+cos(
C-3B
2
)取最大值時(shí)，∠B的大�。�

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