已知橢圓過點,且離心率.

(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線與橢圓相交于,兩點(不是左右頂點),橢圓的右頂點為,且滿足,試判斷直線是否過定點,若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.

(1);(2).

解析試題分析:(1)本小題通過待定系數(shù)法列出兩個關(guān)于的方程,通過解方程組求出橢圓的方程,包含著二次方的運算需掌握;(2)本小題是直線與橢圓的位置關(guān)系的問題,這類題目的常用思路就是聯(lián)立直線方程和橢圓方程通過消元得到一個一元二次方程,確定判別式的情況,正確書寫、利用韋達定理,由兩點(不是左右頂點),橢圓的右頂點為,且滿足,根據(jù)向量的數(shù)量積為零,可得到關(guān)于兩個根的等式,再利用韋達定理可得關(guān)于的等式,從而就可得出相應(yīng)的結(jié)論.
試題解析:(1)
    
∴橢圓方程為              4分
又點在橢圓上,解得
∴橢圓的方程為              6分
(2)設(shè),由
,
                  8分


所以,又橢圓的右頂點
,

,解得                    10分
,且滿足
時,,直線過定點與已知矛盾          12分
時,,直線過定點
綜上可知,當時,直線過定點,定點坐標為              14分.
考點:1.直線與橢圓的位置關(guān)系;2.韋達定理;3.平面向量的數(shù)量積;4.過定點的問題;5.直線與橢圓的綜合問題.

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(1)求橢圓C的標準方程;
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