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已知函數f(x)=x3-ax2+x+b在(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1.
(1)求a,b的值;
(2)設函數g(x)=-(1+k)x2+x+2,若在x∈(0,3)內,函數f(x)的圖象總在g(x)的下方,則求k的取值范圍.
分析:(1)由題意,利用導數的幾何含義及切點的坐標建立a,b的方程,然后求解即可;
(2)構造函數T(x)=f(x)-g(x)=x3+kx2,求導函數,分類討論:①當k=0時,在x∈(0,3)內,T(x)單調遞增,函數f(x)的圖象總在g(x)的上方;②當k>0時,在x∈(0,3)內,T(x)單調遞增,函數f(x)的圖象總在g(x)的上方;③當k<0時,若-
2
3
k≥3
,即k≤-
9
2
時,在x∈(0,3)內,T(x)單調遞減,函數f(x)的圖象總在g(x)的下方;若0<-
2
3
k<3,即-
9
2
<k<0
時,利用T(3)≤0,即可求得結論.
解答:解:(1)求導函數可得f′(x)=3x2-2ax+1
∵函數f(x)=x3-ax2+x+b在(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1
∴f′(1)=4-2a=2,∴a=1
∵x=1時,y=2+1=3,∴f(1)=3
將(1,3)代入函數解析式,可得b=2;
(2)設T(x)=f(x)-g(x)=x3+kx2,T′(x)=3x(x+
2
3
k

①當k=0時,T′(x)=3x2,在x∈(0,3)內,T′(x)>0,即T(x)單調遞增
∵T(x)>T(0)=0
∴f(x)>g(x)
∴函數f(x)的圖象總在g(x)的上方,故不合題意;
②當k>0時,在x∈(0,3)內,T′(x)>0,即T(x)單調遞增
∵T(x)>T(0)=0
∴f(x)>g(x)
∴函數f(x)的圖象總在g(x)的上方,故不合題意;
③當k<0時,
-
2
3
k≥3
,即k≤-
9
2
時,在x∈(0,3)內,T′(x)<0,即T(x)單調遞減
∵T(x)<T(0)=0
∴f(x)<g(x)
∴函數f(x)的圖象總在g(x)的下方,符合題意;
若0<-
2
3
k<3,即-
9
2
<k<0
時,在x∈(0,-
2
3
k)內,T′(x)<0,即T(x)單調遞減;在x∈(-
2
3
k,3)內,T′(x)>0,即T(x)單調遞增
∵在x∈(0,3)內,函數f(x)的圖象總在g(x)的下方,
∴T(3)≤0,∴k≤-3
-
9
2
<k<0
,∴-
9
2
<k≤-3

綜上,k的取值范圍為(-∞,-3].
點評:本題考查導數知識的運用,考查導數的幾何意義,考查構造新函數,考查函數的單調性,考查分類討論的數學思想,解題的關鍵是正確分類,確定函數的單調性,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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