Question

如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，

OD

=3

OA

，點(diǎn)P為△BCD（含邊界）內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

OP

=x

OC

+y

OD

，則x²+9y²的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：以O(shè)D為x軸，OC為y軸，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)P為△BCD（含邊界）內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)建立不等關(guān)系，最后將3y看整體，則x²+9y²表示區(qū)域里點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答：解：以O(shè)D為x軸，OC為y軸，建立直角坐標(biāo)系
則C（0，1），D（3，0），B（1，1）
直線CD的方程為x+3y-3=0，直線BD的方程為x+2y-3=0

OP

=x

OC

+y

OD

=（m，n）=（3y，x）
∵點(diǎn)P為△BCD（含邊界）內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
∴

3y+3x-3≥0 3y+2x-3≤0 x≤1

將3y看整體，則x²+9y²表示區(qū)域里點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方
當(dāng)原點(diǎn)到直線3x+y-3=0的距離時(shí)x²+9y²取最小值
即d=

3

10

∴x²+9y²的最小值等于

9

10

故答案為：

9

10

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及利用解析法求解和線性規(guī)劃的方法求最值，有一定的難度，屬于中檔題．