Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤α＜2π），$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線．
（1）證明向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直；
（2）當(dāng)兩個向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$的模相等時，求tanα．

Answer 1

分析 （1）計算兩向量的模長可發(fā)現(xiàn)${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$=1，于是（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）=0；
（2）對|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow$|兩邊平方，可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，代入數(shù)量積運算公式即可得出tanα．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$²=cos²α+sin²α=1，${\overrightarrow}^{2}$=（-$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1．
∵（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$=1-1=0．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$．
（2）∵|$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}-\sqrt{3}\overrightarrow$|，
∴3${\overrightarrow{a}}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+3{\overrightarrow}^{2}$，
∴4+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4-2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．
∴-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=0，
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的坐標運算，數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．