Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（x-3a）（a＞0且a≠1），當(dāng)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)
Q（x-2a，-y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)．
（1）寫出函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）若當(dāng)x∈[a+2，a+3]時(shí)，恒有|f（x）-g（x）|≤1，試確定a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，y=f（x）=log_a（x-3a），-y=g（x-2a）；則g（x-2a）=-log_a（x-3a），利用換元法求函數(shù)解析式；
（2）先由f（x）與g（x）的定義域的交集為（3a，+∞）可知0＜a＜1，進(jìn)而化簡(jiǎn)|f（x）-g（x）|≤1為a≤x²-4ax+3a²≤

1

a

，從而求a．

解答： 解：（1）由題意，
y=f（x）=log_a（x-3a），
-y=g（x-2a），
則g（x-2a）=-log_a（x-3a），
令t=x-2a，
則g（t）=-log_a（t-a），
則g（x）=-log_a（x-a）．
（2）∵f（x）與g（x）的定義域的交集為（3a，+∞），
∴[a+2，a+3]⊆（3a，+∞）
∴a+2＞3a＞0，
∴0＜a＜1，
∴|f（x）-g（x）|≤1可化為a≤x²-4ax+3a²≤

1

a

，
又∵x∈[a+2，a+3]時(shí)，x²-4ax+3a²=（x-2a）²-a²∈[4-4a，9-6a]
∴

0＜a＜1 a≤4-4a 1 a ≥9-6a

，
∴0＜a≤

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖象的變換及換元法求函數(shù)的解析式及函數(shù)的定義域的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．