Question

設函數f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

解析 (1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，

當x＝2時，y＝.又f′(x)＝a＋，于是

解得故f(x)＝x－.

(2)證明　設P(x₀，y₀)為曲線上任一點，

由f′(x)＝1＋知，曲線在點P(x₀，y₀)處的切線方程為y－y₀＝(x－x₀)，

即y－＝(x－x₀)．

令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0交點坐標為.

令y＝x，得y＝x＝2x₀，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x_0,2x₀)．

所以點P(x₀，y₀)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為

|2x₀|＝6.

故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6.