Question

大家知道，在數(shù)列{a_n}中，若a_n=n，則s_n=1+2+3+…+n=

1

2

n2+

1

2

n，若a_n=n²，則
s_n=12+22+32+…+n2=

1

3

n3+

1

2

n2+

1

6

n，于是，猜想：若a_n=n³，則s_n=1³+2³+3³+…+n³=an⁴+bn³+cn²+dn．
問(wèn)：（1）這種猜想，你認(rèn)為正確嗎？
（2）不管猜想是否正確，這個(gè)結(jié)論是通過(guò)什么推理方法得到的？
（3）如果結(jié)論正確，請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．

Answer 1

分析：（1）猜想正確；
（2）這是一種類(lèi)比推理的方法；
（3）由類(lèi)比可猜想，s_n=1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n⁴+

1

2

n³+

1

4

n²，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵注意n=k+1時(shí)的證明，要利用n=k時(shí)的結(jié)論．

解答：解：（1）猜想正確；
（2）這是一種類(lèi)比推理的方法；
（3）由類(lèi)比可猜想，a=

1

4

，n=1時(shí)，a+b+c+d=1；n=2時(shí)，16a+8b+4c+d=9；n=3時(shí)，81a+27b+9c+d=36
故解得a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，∴s_n=1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n⁴+

1

2

n³+

1

4

n²
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即1³+2³+3³+…+k³=

1

4

k⁴+

1

2

k³+

1

4

k2=[

k(k+1)

2

]2
則n=k+1時(shí)，左邊=1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³
=

1

4

k⁴+

1

2

k³+

1

4

k²+（k+1）³
=[

k(k+1)

2

]2+(k+1)3
=(

k+1

2

)2(k2+4k+4)
=[

(k+1)(k+2)

2

]2
=右邊，結(jié)論成立
由①②可知，s_n=1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n⁴+

1

2

n³+

1

4

n²，成立

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，考查類(lèi)比推理，考查數(shù)學(xué)歸納法，解題的關(guān)鍵是合理類(lèi)比，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．