Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1上一點(diǎn)P（x，y）到雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)的距離是9，則x²+y²的值是133．

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，不妨設(shè)點(diǎn)P（x，y）在右支上，焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)滿(mǎn)足雙曲線方程，解方程可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1的a=4，b=6，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
不妨設(shè)點(diǎn)P（x，y）在右支上，
由條件可知P點(diǎn)到右焦點(diǎn)（2$\sqrt{13}$，0）的距離為9，
即為$\sqrt{（x-2\sqrt{13}）^{2}+{y}^{2}}$=9，且$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1，
解出x=2$\sqrt{13}$，y=±9，
則x²+y²=52+81=133．
故答案為：133．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和應(yīng)用，考查兩點(diǎn)距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．