Question

4．已知圓心為（3，4）的圓N被直線x=1截得的弦長為2$\sqrt{5}$．
（1）求圓N的方程；
（2）若過點(diǎn)D（3，6）的直線l被圓N截得的弦長為4$\sqrt{2}$，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）求出圓的半徑，即可求圓N的方程；
（2）根據(jù)題意得到直線l斜率存在，設(shè)為k，表示出直線l方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，根據(jù)r與弦長，利用垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值即可．

解答 解：（1）由題意，圓心到直線的距離為3-1=2，
∵圓N被直線x=1截得的弦長為2$\sqrt{5}$，
∴圓的半徑r=$\sqrt{5+4}$=3，
∴圓N的方程為（x-3）²+（y-4）²=9；
（2）設(shè)直線l方程為y-6=k（x-3），即kx-y-3k+6=0，
∵圓心（3，4）到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，r=3，弦長為4$\sqrt{2}$，
∴4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{9-4ckdrow^{2}}$，化簡得1+k²=4，解得：k=±$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．