【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）化曲線的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）設(shè)曲線與軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn)作斜率為1的直線， 交曲線于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).

【答案】（1）以為圓心，半徑為的圓.（2）

【解析】試題分析：(1)利用三角恒等式消參化簡(jiǎn) 的方程即可，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，等式兩側(cè)乘以 即可將 的極坐標(biāo)方程化簡(jiǎn)為直角坐標(biāo)方程；(2)利用題意結(jié)合(1)中的結(jié)論求得點(diǎn) 的直角坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解距離即可.

試題解析：

（1）曲線的普通方程為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，

由，得，整理得，

即為曲線的普通方程，表示以為圓心，半徑為的圓.

（2）令，得，所以，直線，

將曲線的參數(shù)方程代入直線方程得： ，

整理得，即，或，

所以， .

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】（本小題滿分12分）在如圖所示的五面體中，面為直角梯形， ，平面平面， ， 是邊長(zhǎng)為2的正三角形．

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值．

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【題目】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度為8， 的中點(diǎn)到軸的距離為3.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線在軸上的截距為6，且拋物線交于兩點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，當(dāng)直線恰與拋物線相切時(shí)，求直線的方程.

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【題目】某品牌汽車的店，對(duì)最近100份分期付款購(gòu)車情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)情況如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.4；該店經(jīng)銷一輛該品牌汽車，若顧客分3期付款，其利潤(rùn)為1萬(wàn)元；分6期或9期付款，其利潤(rùn)為2萬(wàn)元；分12期付款，其利潤(rùn)為3萬(wàn)元.

付款方式

分3期

分6期

分9期

分12期

頻數(shù)

20

20

（1）若以上表計(jì)算出的頻率近似替代概率，從該店采用分期付款購(gòu)車的顧客（數(shù)量較大）中隨機(jī)抽取3為顧客，求事件：“至多有1位采用分6期付款“的概率；

（2）按分層抽樣方式從這100為顧客中抽取5人，再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤(rùn)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】在某次水下科研考察活動(dòng)中，需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè)，根據(jù)已往經(jīng)驗(yàn)，潛水員下潛的平均速度為（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間的用氧量為（升），在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間，每單位時(shí)間用氧量為（升），返回水面的平均速度為（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間用氧量為（升），記該潛水員在此次考察活動(dòng)中的總用氧量為（升）.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若，求當(dāng)下潛速度取什么值時(shí)，總用氧量最少.

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【題目】定義在 上的函數(shù) 若同時(shí)滿足：①存在 ，使得對(duì)任意的 ，都有 ；② 的圖象存在對(duì)稱中心．則稱 為“ 函數(shù)”．已知函數(shù) 和 ，則以下結(jié)論一定正確的是

A. 和 都是 函數(shù) B. 是 函數(shù)， 不是 函數(shù)

C. 不是 函數(shù)， 是 函數(shù) D. 和 都不是 函數(shù)

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【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（1）求；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).

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【題目】公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形的面積可無(wú)限接近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”，劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”，利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出的值為（ ）

（參考數(shù)據(jù)： ）

A. 12 B. 24 C. 48 D. 96

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