Question

9．已知函數f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-m}$．
（Ⅰ）討論函數y=f（x）在x∈（m，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）若m∈（0，$\frac{1}{2}$），則當x∈[m，m+1]時，函數y=f（x）的圖象是否總在函數g（x）=x²+x的圖象上方？請寫出判斷過程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出f（x）在[m，m+1]的最小值，問題轉化為判斷e^x與（1+x）x的大小，根據函數的單調性判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）${f^'}（x）=\frac{{{e^x}（x-m）-{e^x}}}{{{{（x-m）}^2}}}=\frac{{{e^x}（x-m-1）}}{{{{（x-m）}^2}}}$，
當x∈（m，m+1）時，f′（x）＜0，當x∈（m+1，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在（m，m+1）遞減，在（m+1，+∞）遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（m，m+1）遞減，
所以其最小值為f（m+1）=e^m+1，
因為$m∈（0，\frac{1}{2}]$，g（x）在x∈[m，m+1]單調遞增，最大值為g（m+1）=（m+1）²+m+1，
要判斷函數y=f（x）的圖象是否總在函數g（x）=x²+x的圖象上方，只需驗證f（m+1）≥g（m+1）是否成立，

所以下面判斷f（m+1）與g（m+1）的大小，
f（m+1）-g（m+1）=e^m+1-（m+1）（m+2），m∈（0，$\frac{1}{2}$），
令h（m）=e^m+1-（m+1）（m+2），m∈（0，$\frac{1}{2}$），
h'（m）=e^m+1-2m-3，m∈（0，$\frac{1}{2}$），
h''（m）=e^m+1-2，m∈（0，$\frac{1}{2}$），
h''（m）＞0，
h'（m）在m∈（0，$\frac{1}{2}$）單調遞增，存在t∈（0，$\frac{1}{2}$），使得h'（t）=0，
即e^t+1-2t-3=0，則t=$\frac{{e}^{t+1}-3}{2}$，
則h（m）的最小值為h（t）=e^t+1-（t+1）（t+2）=e^t+1-（$\frac{{e}^{t+1}-1}{2}$）（$\frac{{e}^{t+1}+1}{2}$）=e^t+1-$\frac{（{e}^{t+1}）^{2}-1}{4}$=$\frac{-（{e}^{t+1}-2）^{2}+5}{4}$，滿足t∈（0，$\frac{1}{2}$）時h（t）＞0，
所以h（m）＞0在m∈（0，$\frac{1}{2}$）時恒成立，
所以函數y=f（x）的圖象總在函數g（x）=x²+x圖象上方．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的大小比較，是一道中檔題．