Question

7．已知集合$A=\left\{{x\left|{y=\frac{{\sqrt{x-3}}}{{\sqrt{6-x}}}}\right.}\right\}$，B={x|2＜x＜9}．
（1）分別求：∁_R（A∩B），（∁_RB）∪A；
（2）已知C={x|2a＜x＜a+3}，若C⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡集合A，根據交集、補集與并集的定義進行計算即可；
（2）根據題意，討論C=∅和C≠∅時，求出對應a的取值范圍．

解答 解：（1）集合$A=\left\{{x\left|{y=\frac{{\sqrt{x-3}}}{{\sqrt{6-x}}}}\right.}\right\}$
={x|$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{6-x＞0}\end{array}\right.$}
={x|3≤x＜6}，
B={x|2＜x＜9}，
∴A∩B={x|3≤x＜6}，
∴C_R（A∩B）={x|x＜3或x≥6}；
C_RB={x|x≤2或x≥9}，
∴（C_RB）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}；
（2）當C=∅時，2a≥a+3，解得a≥3；
當C≠∅時，$\left\{\begin{array}{l}2a≥2\\ a+3≤9\\ 2a＜a+3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a≤6\\ a＜3\end{array}\right.$，
即1≤a＜3；
綜上，a≥1．

點評 本題考查了集合的化簡與運算問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是基礎題目．