Question

9．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，滿足b₁=a₂=2，a₅+a₉=14，b₄=a₁₅+1
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}通項公式；
（II）令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵a₂=2，a₅+a₉=14，
∴a₁+d=2，2a₁+12d=14，解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴b₁=a₂=2，b₄=a₁₅+1=16=2×q³，
∴q=2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．