Question

已知A（3，2）、B（-2，1）、C（1，-1）且

AP

=-2

PB

（1）證明：△ABC是等腰直角三角形
（2）求cos∠APC．

Answer 1

分析：（1）由題意得

CA

=(2，3)，

CB

=(-3，2)，由

CA

•

CB

=0，|

CA

|=|

CB

|，能夠證明△ABC是等腰直角三角形．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則

AP

=(x-3，y-2)，

PB

=(-2-x，1-y)．由

AP

=-2

PB

，知x-3=4+2x且y-2=2y-2，由此能求出cos∠APC．

解答：（1）證明：由題意得

CA

=(2，3)，

CB

=(-3，2)
因?yàn)?span id="42hpxai" class="MathJye">

CA

•

CB

=0，
所以CA⊥CB
所以△ABC是直角三角形
又∵|

CA

| =

4+9

=

13

，|

CB

| =

9+4

=

13

，
∴|

CA

|=|

CB

|，
∴△ABC是等腰直角三角形
（2）解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），
則

AP

=(x-3，y-2)，

PB

=(-2-x，1-y)
∵

AP

=-2

PB

，
∴x-3=4+2x且y-2=2y-2，
解得x=-7，y=0，
∴P（-7，0），
∴

PC

=(8，-1)，

PA

=(10，2)
∴

PA

•

PC

=78，
|

PC

|=

65

，|

PA

|=2

26

，
∴cos∠APC=

78

65 •2 26

=

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的靈活運(yùn)用．