Question

7．設函數(shù)f（x）=x³+ax²-9x+3（a＜0），且曲線y=f（x）斜率最小的切線與直線12x+y=6平行．試求：
（1）a的值；
（2）函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先求出導函數(shù)的最小值，最小值與直線12x+y=6的斜率相等建立等式關系，求出a的值即可；
（2）先求導數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的區(qū)間就是所求．

解答 解：（1）因f（x）=x³+ax²-9x-1
所以f'（x）=3x²+2ax-9=$3（x+\frac{a}{3}）^{2}-9-\frac{{a}^{2}}{3}$．
即當x=-$\frac{a}{3}$時，f'（x）取得最小值-9-$\frac{{a}^{2}}{3}$．
因斜率最小的切線與12x+y=6平行，即該切線的斜率為-12，
所以-9-$\frac{{a}^{2}}{3}$=-12．
解得a=±3，由題設a＜0，所以a=-3．
（2）由（1）知a=-3，因此f（x）=x³-3x²-9x+3，
f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f'（x）=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
當x∈（-∞，-1）時，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)；
當x∈（-1，3）時，f'（x）＜0，故f（x）在（-1，3）上為減函數(shù)；
當x∈（3，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上為增函數(shù)．
由此可見，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）；
單調遞減區(qū)間為（-1，3）．

點評 本小題主要考查導數(shù)的幾何意義，及運用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、一元二次不等式的解法等基礎知識，屬于中檔題．