Question

【題目】已知數(shù)列滿足： ， ， ．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）將數(shù)列中的部分項(xiàng)按原來順序構(gòu)成新數(shù)列，且，求證：存在無數(shù)個(gè)滿足條件的無窮等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）（）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）因?yàn)?/span>，所以, 數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；（2）因?yàn)?/span>，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，計(jì)算 ，利用，即可求出；（3）因?yàn)?/span>， ，先證數(shù)列滿足題意，即證此數(shù)列中的任何一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)． 令，則只需證即可．本題也可考慮數(shù)學(xué)歸納法證明.　

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．

所以， ，又由題意， ，

所以（）．

（2）由，得，

故，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，

所以， ，令， ，得， ．

若為等差數(shù)列，則，解得．

當(dāng)時(shí)， ， ， 為等差數(shù)列．

所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列．

（3）， ，先證數(shù)列滿足題意，即證此數(shù)列中的任何一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)．

令，則只需證即可．　

此時(shí)， ，故．

所以，此數(shù)列中的第項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng)．

（也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除，證明如下）

① 當(dāng)時(shí)， ，能被整除；

② 假設(shè)當(dāng)（）時(shí)結(jié)論成立，即能被整除，

那么當(dāng)時(shí)， ，

因?yàn)?/span>與都能被整除，所以也能被整除，

即時(shí)，結(jié)論也成立．

由①、②知，當(dāng)時(shí)， 能被整除．

因此，以為首項(xiàng)， ， ，…， ，…為公比的無窮等比數(shù)列均滿足題意，命題得證．