Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，為正三角形.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線，且和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：第一問(wèn)根據(jù)題意先寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用條件，結(jié)合拋物線的定義，可得，從而求得的值，進(jìn)而得到拋物線的方程；第二問(wèn)根據(jù)題意，結(jié)合兩直線平行的條件，得到其對(duì)應(yīng)的式子，根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的條件得到結(jié)果.

詳解：（1）由題意知，

設(shè)，則的中點(diǎn)為，

因?yàn)?/span>，由拋物線的定義知：，

解得或（舍去），

由，解得，

所以拋物線的方程為.

（2）由（1）知，設(shè)，，

因?yàn)?/span>，則，

由得，故，

故直線的斜率為，

因?yàn)橹本�和直線平行，

故可設(shè)直線的方程為，

代入拋物線方程得，

由題意知，得.

設(shè)，則，，

當(dāng)時(shí)，，

可得直線的方程為，

由，整理可得，

所以直線恒過(guò)點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)點(diǎn)，

所以直線恒過(guò)定點(diǎn).