【題目】設(shè)A(n)表示正整數(shù)n的個(gè)位數(shù),an=A(n2)﹣A(n),A為數(shù)列{an}的前202項(xiàng)和,函數(shù)f(x)=ex﹣e+1,若函數(shù)g(x)滿足f[g(x)﹣ ]=1,且bn=g(n)(n∈N*),則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為

【答案】n+3﹣(2n+3)?( n
【解析】解:n的個(gè)位數(shù)為1時(shí)有:an=A(n2)﹣A(n)=0,

n的個(gè)位數(shù)為2時(shí)有:an=A(n2)﹣A(n)=4﹣2=2,

n的個(gè)位數(shù)為3時(shí)有:an=A(n2)﹣A(n)=9﹣3=6,

n的個(gè)位數(shù)為4時(shí)有:an=A(n2)﹣A(n)=6﹣4=2,

n的個(gè)位數(shù)為5時(shí)有:an=A(n2)﹣A(n)=5﹣5=0,

n的個(gè)位數(shù)為6時(shí)有:an=A(n2)﹣A(n)=6﹣6=0,

n的個(gè)位數(shù)為7時(shí)有:an=A(n2)﹣A(n)=9﹣7=2,

n的個(gè)位數(shù)為8時(shí)有:an=A(n2)﹣A(n)=4﹣8=﹣4,

n的個(gè)位數(shù)為9時(shí)有:an=A(n2)﹣A(n)=1﹣9=﹣8,

n的個(gè)位數(shù)為0時(shí)有:an=A(n2)﹣A(n)=0﹣0=0,

每10個(gè)一循環(huán),這10個(gè)數(shù)的和為:0,

202÷10=20余2,余下兩個(gè)數(shù)為:a201=0,a202=2,

∴數(shù)列{an}的前202項(xiàng)和等于:a201+a202=0+2=2,

即有A=2.

函數(shù)函數(shù)f(x)=ex﹣e+1為R上的增函數(shù),且f(1)=1,

f[g(x)﹣ ]=1=f(1),

可得g(x)=1+ =1+ ,

則g(n)=1+(2n﹣1)( n,

即有bn=g(n)=1+(2n﹣1)( n

則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n+[1( 1+3( 2+5( 3++(2n﹣1)( n],

可令S=1( 1+3( 2+5( 3++(2n﹣1)( n

S=1( 2+3( 3+5( 4++(2n﹣1)( n+1,

兩式相減可得 S= +2[( 2+( 3+( 4++( n]﹣(2n﹣1)( n+1

= +2 ﹣(2n﹣1)( n+1,

化簡可得S=3﹣(2n+3)( n,

則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n+3﹣(2n+3)( n

故答案為:n+3﹣(2n+3)( n

先根據(jù)n的個(gè)位數(shù)的不同取值推導(dǎo)數(shù)列的周期,由周期可求得A=2,再由函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù),求得g(x)的解析式,即有bn=g(n)=1+(2n﹣1)( n,再由數(shù)列的求和方法:分組求和和錯(cuò)位相減法,化簡整理即可得到所求和.

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A.
B.
C.
D.

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