精英家教網(wǎng)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a(a>2),長(zhǎng)度為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動(dòng),另一端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng),則MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與共一頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為
 
分析:根據(jù)題意,連接N點(diǎn)與D點(diǎn),得到一個(gè)直角三角形△NMD,P為斜邊MN的中點(diǎn),所以|PD|的長(zhǎng)度不變,進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分,求出球的半徑,代入球的體積公式計(jì)算.
解答:精英家教網(wǎng)解:如圖可得,端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),連接N點(diǎn)與D點(diǎn),
由ND,DM,MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形,
設(shè)P為MN的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度為斜邊的一半可得
不論△MDN如何變化,P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1.
故P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D為中心,半徑為1的球的
1
8

其體積V=
1
8
×
4
3
×π×13=
π
6

故答案是
π
6
點(diǎn)評(píng):解題的關(guān)鍵是,根據(jù)P點(diǎn)滿足的條件,判斷幾何體為球體的
1
8
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

8、如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E,F(xiàn)在線段AB上,點(diǎn)M在線段B1C1上,點(diǎn)N在線段C1D1上,且EF=1,D1N=x,AE=y,M是B1C1的中點(diǎn),則四面體MNEF的體積( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).
求:
(1)D1E與平面BC1D所成角的正弦值;
(2)二面角D-BC1-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E、F分別是D1C、AB的中點(diǎn).
(I)求證:EF∥平面ADD1A1;
(Ⅱ)求二面角D-EF-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P,Q,R分別是棱AB,CC1,D1A1的中點(diǎn).
(1)求證:B1D⊥平面PQR;
(2)設(shè)二面角B1-PR-Q的大小為θ,求|cosθ|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•寶山區(qū)一模)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為2,E,F(xiàn)分別是BB1,CD的中點(diǎn).
(1)求三棱錐E-AA1F的體積;
(2)求異面直線EF與AB所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

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