分析 (1)k=e時,f(x)=ex-ex,x∈R,f′(x)=ex-e,令f′(x)=ex-e=0,解得x=1,可知:函數(shù)f(x)在x=1時取得極小值,即最小值,而f(1)=0.即可證明.
(2)f′(x)=ex-k,k>0,令f′(x)=ex-k=0,解得x=lnk,對k分類討論:①k∈(0,1]時,lnk≤0,利用單調(diào)性可得:f(x)>f(0)=1>0恒成立.②k∈(1,+∞)時,lnk>0,可得函數(shù)f(x)在x=lnk時取得極小值,即最小值,因此f(lnk)>0.解得1<k<e.即可得出k的求值范圍.
解答 (1)證明:k=e時,f(x)=ex-ex,x∈R,f′(x)=ex-e,令f′(x)=ex-e=0,解得x=1,
∴x>1時,f′(x)>0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;∴x<1時,f′(x)<0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
∴函數(shù)f(x)在x=1時取得極小值,即最小值,f(1)=0.
∴f(x)≥f(1)=0,因此當(dāng)k=e時,f(x)≥0恒成立.
(2)解:f′(x)=ex-k,k>0,
令f′(x)=ex-k=0,解得x=lnk,
①k∈(0,1]時,lnk≤0,因此x>0,令f′(x)=ex-k>0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
∴f(x)>f(0)=1>0恒成立.
②k∈(1,+∞)時,lnk>0,
因此x>lnk,令f′(x)>elnk-k=k-k>0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
0<x<lnk時,f′(x)<k-k=0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
∴函數(shù)f(x)在x=lnk時取得極小值,即最小值,因此f(lnk)=k-klnk=k(1-lnk)>0.
解得1<k<e.
綜上①②可得:實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,e).
點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、解不等式,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.
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性別 科目 | 男 | 女 |
文科 | 2 | 5 |
理科 | 10 | 3 |
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A. | 在區(qū)間(-2,1)上f(x)是增函數(shù) | B. | 在(1,3)上f(x)是減函數(shù) | ||
C. | 當(dāng)x=4時,f(x)取極大值 | D. | 在(4,5)上f(x)是增函數(shù) |
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