Question

4．某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是$\frac{1}{4}$．
（1）求該生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；
（2）求該生在上學(xué)路上遇到紅燈次數(shù)ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）該生在上學(xué)路上到第一個(gè)路口和第二個(gè)路口都遇到綠燈，由此能求出該生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率．
（2）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{4}$），由此能求出ξ的分布列及期望．

解答 解：（1）∵該生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈，
∴該生在上學(xué)路上到第一個(gè)路口和第二個(gè)路口都遇到綠燈，
∵在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是$\frac{1}{4}$，
∴該生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率：
p=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{9}{64}$．
（2）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{4}$），
∴P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{3}{4}）^{4}$=$\frac{81}{256}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{108}{256}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{54}{256}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）$=$\frac{12}{256}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{4}）^{4}$=$\frac{1}{256}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{12}{256}$	$\frac{1}{256}$

Eξ=$0×\frac{81}{256}+1×\frac{108}{256}$+2×$\frac{54}{256}$+3×$\frac{12}{256}$+4×$\frac{1}{256}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．