Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離與到直線(xiàn)l：x=

1

2

的距離之比為2．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）直線(xiàn)l的方程為x+y-2=0，l與曲線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用已知條件得到方程化簡(jiǎn)求解即可求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）直線(xiàn)l的方程為x+y-2=0，l與曲線(xiàn)C聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，即可求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由題意得

(x-2)2+y2

| x- 1 2  |

=2，…（2分）
化簡(jiǎn)得x2-

y2

3

=1，即為點(diǎn)P的軌跡C的方程．…（6分）
（2）將y=-x+2代入x2-

y2

3

=1中，并化簡(jiǎn)得：2x²+4x-7=0，…（8分）
A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

，
所以|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=6．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．