雙曲線C：x2-y2=2右支上的弦AB過右焦點F．
（1）求弦AB的中點M的軌跡方程
（2）是否存在以AB為直徑的圓過原點O？若存在，求出直線AB的斜率K的值．若不存在，則說明理由．
（1）設(shè)M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），則x12-y12=2，x22-y22=2，
兩式相減可得（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴2x（x1-x2）-2y（y1-y2）=0，
∴
y1-y2
x1-x2
=
x
y
，
∵雙曲線C：x2-y2=2右支上的弦AB過右焦點F（2，0），
∴
y
x-2
=
x
y
，
化簡可得x2-2x-y2=0，（x≥2）-------（6分）
（2）假設(shè)存在，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y=k（x-2）
由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，
∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0---------①
x2-y2=2
y=k(x-2)
⇒(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0，
所以x1+x2=
4k2
k2-1
，x1x2=
4k2+2
k2-1
（k2≠1）--------②
聯(lián)立①②得：k2+1=0無解
所以這樣的圓不存在．-----------------------（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

曲線
x2
25
-
y2
9
=1與曲線
x2
25-k
-
y2
9+k
=1(-9＜k＜25)的（　�。�
A．實軸長相等B．虛軸長相等C．離心率相等D．焦距相等

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F（c，0），方程ax2+bx-c=0的兩個實根分別為x1和x2，則點P（x1，x2）與圓x2+y2=2的位置關(guān)系為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

下列命題正確的是______
①動點M至兩定點A、B的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1）．則動點M的軌跡是圓．
②橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，則b=c(c為半焦距）．
③雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離為b．
④知拋物線y2=2px上兩點A（x1，y1），B（x2，y2）且OA⊥OB（O為原點），則y1y2=-p2．
A．②③④B．①④C．①②③D．①③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距為4，它的一個頂點是拋物線y2=4x的焦點，則雙曲線的離心率e=（　　）
A．
3
2
B．
3
C．2D．
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），A1、A2是雙曲線的左右頂點，M（x0，y0）是雙曲線上除兩頂點外的一點，直線MA1與直線MA2的斜率之積是
144
25
，
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若該雙曲線的焦點到漸近線的距離是12，求雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使|OP|=|OF1|（O為原點），且|PF1|=
3
|PF2|，則雙曲線的離心率為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1左焦點F1的直線交雙曲線的左支于M，N兩點，F(xiàn)2為其右焦點，則|MF2|+|NF2|-|MN|的值為（　�。�
A．0B．4C．8D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知A（4，3），且P是雙曲線x2-y2=2上一點，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，則|PA|+|PF2|的最小值是______．

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同步練習(xí)冊答案