Question

5．已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；     
（Ⅱ）求數(shù)列{2${\;}^{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，則$\frac{1+2d}{1}$=$\frac{1+8d}{1+2d}$，解得：d=1，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；     
（Ⅱ）由${2}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，則利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得S_n．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)知公差d，d≠0，
由a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，則$\frac{1+2d}{1}$=$\frac{1+8d}{1+2d}$，
解得：d=1或d=0（舍去），
a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，
故{a_n}的通項(xiàng)a_n=n；
（Ⅱ）由題意知${2}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，
由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
數(shù)列{${2}^{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列及等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．