在平面直角坐標系中,動點到兩點,的距離之和等于4,設點的軌跡為曲線C,直線過點且與曲線C交于A,B兩點.
(Ⅰ)求曲線C的軌跡方程;
(Ⅱ)是否存在△AOB面積的最大值,若存在,求出△AOB的面積;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ);(Ⅱ)存在;最大值為
解析試題分析:該題考察曲線方程的求法、直線和橢圓的位置關系、函數的最大值,考察數形結合、綜合分析問題和解決問題的能力.(Ⅰ)由已知曲線是以為焦點的橢圓,且,故曲線的方程為;(Ⅱ)設過點的直線方程為: ,將它與橢圓:聯(lián)立,可得,設,,然后根據韋達定理代入,可得關于的函數,再求其最大值即可.
試題解析:(Ⅰ)由橢圓定義可知,點的軌跡C是以,為焦點,長半軸長為2的橢圓.
故曲線的方程為. 4分
(Ⅱ)存在△面積的最大值.
因為直線過點,可設直線的方程為 或(舍).
則
整理得 . 7分
由.
設.
解得 , .
則 .
因為. 10分
設,,.
則在區(qū)間上為增函數.
所以.
所以,當且僅當時取等號,即.
所以的最大值為. 12分
考點:1、曲線的方程的求法;2、直線和橢圓的位置關系;3、函數的最大值.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
矩形的中心在坐標原點,邊與軸平行,=8,=6.分別是矩形四條邊的中點,是線段的四等分點,是線段的四等分點.設直線與,與,與的交點依次為.
(1)求以為長軸,以為短軸的橢圓Q的方程;
(2)根據條件可判定點都在(1)中的橢圓Q上,請以點L為例,給出證明(即證明點L在橢圓Q上).
(3)設線段的(等分點從左向右依次為,線段的等分點從上向下依次為,那么直線與哪條直線的交點一定在橢圓Q上?(寫出結果即可,此問不要求證明)
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如圖已知拋物線的焦點坐標為,過的直線交拋物線于兩點,直線分別與直線:相交于兩點.
(1)求拋物線的方程;
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值.
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已知橢圓過點,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點且斜率為()的直線與橢圓相交于兩點,直線、分別交直線 于、兩點,線段的中點為.記直線的斜率為,求證: 為定值.
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已知橢圓:,
(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標準方程;
(2)在(1)的條件下,設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點,且為銳角(為坐標原點),求直線的斜率的取值范圍;
(3)過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓:相交于四點,設原點到四邊形的一邊距離為,試求時滿足的條件.
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(本小題滿分12分)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并與圓N內切,圓心P的軌跡為曲線 C
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|.
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已知是橢圓的右焦點,圓與軸交于兩點,是橢圓與圓的一個交點,且
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)過點與圓相切的直線與的另一交點為,且的面積為,求橢圓的方程
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已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點C(-1,0)且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點,試問在軸上是否存在點,使是與無關的常數?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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在平面直角坐標系中,已知曲線上任意一點到點的距離與到直線的距離相等.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設,是軸上的兩點,過點分別作軸的垂線,與曲線分別交于點,直線與x軸交于點,這樣就稱確定了.同樣,可由確定了.現(xiàn)已知,求的值.
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