Question

2．已知函數f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（1）當a=-10時，求f（x）在x=2處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為18，求它在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）求得導數，求得極值點，求出單調區(qū)間，可得f（x）的最值，解方程可得a=0，進而得到最小值．

解答 解：（1）f（x）的導數為f′（x）=-3x²+6x+9，
可得切線的斜率為f′（2）=9，函數f（x）=-x³+3x²+9x-10的切點為（2，12），
所以f（x）在x=2處的切線方程為y-12=9（x-2），
即9x-y-6=0．
（2）令f′（x）=-3x²+6x+9=0，得x=3（舍）或x=-1，
當x∈（-2，-1）時，f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（-2，-1）時單調遞減，
當x∈（-1，2）時f'（x）＞0，所以f（x）在x∈（-1，2）時單調遞增，
又f（-2）=2+a，f（2）=22+a，
所以f（2）＞f（-2）．
因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，
于是有22+a=18，解得a=-4．
故f（x）=-x³+3x²+9x-4，因此f（-1）=-9，
即函數f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為-9．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值和最值，考查運算能力，屬于中檔題．