分析 (Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)出切點坐標(biāo),由題意可得{f(x0)=0f′(x0)=0,求解方程組可得a=x0=1,則函數(shù)解析式可求,把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為lnx≤x-1.設(shè)h(x)=lnx-x+1,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值得答案;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=(b−1)logbx−x2−12,求其導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最大值可證答案.
解答 證明:(Ⅰ)證明f′(x)=1x−ax2,
設(shè)f(x)的圖象與x軸相切于點(x0,0),
則{f(x0)=0f′(x0)=0,即{lnx0+ax0−1=01x0−ax02=0,解得a=x0=1,
∴f(x)=lnx+1x−1,
f(x)≤(x−1)2x?lnx≤x-1.
設(shè)h(x)=lnx-x+1,則h′(x)=1x−1,
當(dāng)0<x<1時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
∴h(x)≤h(1)=0,
即lnx≤x-1,(*)
∴f(x)≤(x−1)2x;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=(b−1)logbx−x2−12,g′(x)=b−1xlnb−x=(−lnb)x2+b−1xlnb,
由g'(x)=0,得x0=√b−1lnb.
由(*)式可得,當(dāng)x>1時,lnx<x-1,即x−1lnx>1;
以1x代換x可得ln1x<1x−1,有lnx>x−1x,即x−1lnx<x.
∴當(dāng)b>1時,有1<x0<√.
當(dāng)1<x<x0時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x0<x<√時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
又∵g(1)=g(√)=0,∴g(x)>0,
即(b−1)logbx>x2−12.
點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式,是中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 53 | B. | 59 | C. | 66 | D. | 71 |
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