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18.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax-1的圖象與x軸相切.
(Ⅰ)求證:f(x)≤x12x
(Ⅱ)若1<x<,求證:(b-1)logbx>x212

分析 (Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)出切點坐標(biāo),由題意可得{fx0=0fx0=0,求解方程組可得a=x0=1,則函數(shù)解析式可求,把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為lnx≤x-1.設(shè)h(x)=lnx-x+1,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值得答案;
(Ⅱ)設(shè)gx=b1logbxx212,求其導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最大值可證答案.

解答 證明:(Ⅰ)證明fx=1xax2
設(shè)f(x)的圖象與x軸相切于點(x0,0),
{fx0=0fx0=0,即{lnx0+ax01=01x0ax02=0,解得a=x0=1,
fx=lnx+1x1,
fxx12x?lnx≤x-1.
設(shè)h(x)=lnx-x+1,則hx=1x1
當(dāng)0<x<1時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
∴h(x)≤h(1)=0,
即lnx≤x-1,(*)
fxx12x;
(Ⅱ)設(shè)gx=b1logbxx212,gx=b1xlnbx=lnbx2+b1xlnb,
由g'(x)=0,得x0=b1lnb
由(*)式可得,當(dāng)x>1時,lnx<x-1,即x1lnx1;
1x代換x可得ln1x1x1,有lnxx1x,即x1lnxx
∴當(dāng)b>1時,有1x0
當(dāng)1<x<x0時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x0x時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
又∵g1=g=0,∴g(x)>0,
b1logbxx212

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式,是中檔題.

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