18.已知函數(shù)f(x)=lnx+$\frac{a}{x}$-1的圖象與x軸相切.
(Ⅰ)求證:f(x)≤$\frac{{{{(x-1)}^2}}}{x}$;
(Ⅱ)若1<x<$\sqrt$,求證:(b-1)logbx>$\frac{{{x^2}-1}}{2}$.

分析 (Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)出切點坐標(biāo),由題意可得$\left\{\begin{array}{l}f({x_0})=0\\ f'({x_0})=0\end{array}\right.$,求解方程組可得a=x0=1,則函數(shù)解析式可求,把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為lnx≤x-1.設(shè)h(x)=lnx-x+1,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值得答案;
(Ⅱ)設(shè)$g(x)=(b-1){log_b}x-\frac{{{x^2}-1}}{2}$,求其導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最大值可證答案.

解答 證明:(Ⅰ)證明$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$,
設(shè)f(x)的圖象與x軸相切于點(x0,0),
則$\left\{\begin{array}{l}f({x_0})=0\\ f'({x_0})=0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}ln{x_0}+\frac{a}{x_0}-1=0\\ \frac{1}{x_0}-\frac{a}{{{x_0}^2}}=0\end{array}\right.$,解得a=x0=1,
∴$f(x)=lnx+\frac{1}{x}-1$,
$f(x)≤\frac{{{{(x-1)}^2}}}{x}$?lnx≤x-1.
設(shè)h(x)=lnx-x+1,則$h'(x)=\frac{1}{x}-1$,
當(dāng)0<x<1時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
∴h(x)≤h(1)=0,
即lnx≤x-1,(*)
∴$f(x)≤\frac{{{{(x-1)}^2}}}{x}$;
(Ⅱ)設(shè)$g(x)=(b-1){log_b}x-\frac{{{x^2}-1}}{2}$,$g'(x)=\frac{b-1}{xlnb}-x=\frac{{(-lnb){x^2}+b-1}}{xlnb}$,
由g'(x)=0,得${x_0}=\sqrt{\frac{b-1}{lnb}}$.
由(*)式可得,當(dāng)x>1時,lnx<x-1,即$\frac{x-1}{lnx}>1$;
以$\frac{1}{x}$代換x可得$ln\frac{1}{x}<\frac{1}{x}-1$,有$lnx>\frac{x-1}{x}$,即$\frac{x-1}{lnx}<x$.
∴當(dāng)b>1時,有$1<{x_0}<\sqrt$.
當(dāng)1<x<x0時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)${x_0}<x<\sqrt$時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
又∵$g(1)=g(\sqrt)=0$,∴g(x)>0,
即$(b-1){log_b}x>\frac{{{x^2}-1}}{2}$.

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式,是中檔題.

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