Question

【題目】對于雙曲線，定義為其伴隨曲線，記雙曲線的左、右頂點為、．

（1）當(dāng)時，記雙曲線的半焦距為，其伴隨橢圓的半焦距為，若，求雙曲線的漸近線方程．

（2）若雙曲線的方程為，弦軸，記直線與直線的交點為，求其動點的軌跡方程．

（3）過雙曲線的左焦點，且斜率為的直線與雙曲線交于兩點，求證：對任意的，在伴隨曲線上總存在點，使得．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）利用雙曲線的、、的關(guān)系及橢圓的、、的關(guān)系及雙曲線的漸近線的方程即可得出；（2）設(shè)出點、的坐標(biāo)，利用點斜式得出直線、的方程，聯(lián)立即可得出交點的坐標(biāo)，反解出點的坐標(biāo)，利用代點法即可求出軌跡；（3）設(shè)出直線的方程，并與雙曲線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件求出的范圍，再求出伴隨曲線上的任意一點到點的距離的平方的取值范圍，即可判斷出結(jié)論是否成立．

（1）∵，，由，

得，即

可得，

∴的漸近線方程為；

（2）設(shè)，，

又、，

∴直線的方程為…①

直線的方程為…②，

由①②得，

∵在雙曲線上，

∴，整理得．

（3）證明：點的坐標(biāo)為，直線的方程為，

設(shè)、的坐標(biāo)分別為、，

則由得，

即，

當(dāng)時，

∵，

∴，，

，

由知，

∴．

∵雙曲線的伴隨曲線是圓，

圓上任意一點到的距離，

∴，

∵

∴對任意的，在伴隨曲線上總存在點，使得．