Question

已知命題p：?x₀∈[-1，1]，滿足

x

2 0

+x0-a+1＞0，命題q：?t∈（0，1），方程x2+

y2

(t-a)(t-a-2)+1

=1都表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．若命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：若命題p為真，僅須(x02+x0-a+1)max＞0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得命題q為真時(shí)，（t-a）（t-a-2）+1＞1．進(jìn)而根據(jù)命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p與q一真一假，分類討論后，綜合討論結(jié)果，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：因?yàn)?x₀∈[-1，1]，滿足x02+x0-a+1＞0，
所以只須(x02+x0-a+1)max＞0
即3-a＞0，
所以命題p：a＜3；
因?yàn)?t∈（0，1），方程x2+

y2

(t-a)(t-a-2)+1

=1都表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
所以（t-a）（t-a-2）+1＞1
即（t-a）（t-a-2）+1＞0對(duì)?t∈（0，1）恒成立；
所以命題q：a≤-2，或a≥1
若p真q假，得

a＜3 -2＜a＜1

，即-2＜a＜1；
若p假q真，得

a≥3 a≤-2或a≥1

，即a≥3；
綜上所述，a∈（-2，1）∪[3，+∞）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假，命題的真假判斷與應(yīng)用，其中根據(jù)存在性命題及函數(shù)恒成立問題求出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是解答的關(guān)鍵．