Question

19．函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一周期內(nèi)，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，y取最大值1，當(dāng)x=$\frac{7π}{12}$時(shí)，y取最小值-1．
（1）求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）；
（2）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換可得到y(tǒng)=f（x）的圖象；
（3）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，$\frac{8π}{3}$]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，算出f（x）的周期T，結(jié)合周期公式解得ω，再結(jié)合y取最大值1解出φ，即可得到函數(shù)的解析式；
（2）直接利用三角函數(shù)圖象的變換，求解三角函數(shù)即可．
（3）由（1）的結(jié)論，得函數(shù)在[0，$\frac{8π}{3}$]內(nèi)恰有4個(gè)周期，根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，得到在[0，$\frac{8π}{3}$]內(nèi)有6個(gè)根且分別關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$、x=$\frac{11π}{12}$和x=$\frac{19π}{12}$和x=$\frac{27π}{12}$對(duì)稱，由此加以計(jì)算即可得到所有實(shí)數(shù)根之和．

解答 解：（1）由題意，得：
周期T=$\frac{2π}{ω}$=2（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{4}$），解得ω=3，
又∵當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)y取最大值1，
∴sin（$\frac{3π}{4}$+φ）=1，結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=-$\frac{π}{4}$，
因此函數(shù)的解析式為f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）；
（2）函數(shù)y=sinx的圖象向右平移$\frac{π}{4}$單位，得到y(tǒng)=sin（x-$\frac{π}{4}$），再把函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{3}$，得到f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的圖象．
（3）∵f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的周期為$\frac{2π}{3}$，
∴函數(shù)在[0，$\frac{8π}{3}$]內(nèi)恰有4個(gè)周期，
并且方程sin（3x-$\frac{π}{4}$）=a，a∈（0，1）在[0，$\frac{8π}{3}$]內(nèi)有8個(gè)實(shí)根，
且x₁+x₂=$\frac{π}{2}$，
同理可得x₃+x₄=$\frac{11π}{6}$且x₅+x₆=$\frac{19π}{6}$，x₇+x₈=$\frac{9π}{2}$．
∴f（x）在[0，$\frac{8π}{3}$]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和為：$\frac{π}{2}$+$\frac{11π}{6}$+$\frac{19π}{6}$+$\frac{9π}{2}$=10π．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角函數(shù)圖象滿足的條件，求函數(shù)的表達(dá)式并求f（x）在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．著重考查了三角函數(shù)的周期公式、圖象的對(duì)稱性和最值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的自變量等知識(shí)，屬于中檔題．