Question

16．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3}+e，x≤0\\ \frac{e^x}{x}，x＞0\end{array}$，則方程f（f（x））=$\frac{e^3}{3}$的根的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，作出f（x）的函數(shù)圖象，得出f（x）=$\frac{{e}^{3}}{3}$的根的分布情況，再結(jié)合圖象得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x＞0，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值f（1）=e，
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

令f（x）=t，則f（t）=$\frac{{e}^{3}}{3}$，
由圖象可知方程f（t）=$\frac{{e}^{3}}{3}$有兩解t=t₁，或t=3，且0＜t₁＜1．
∴f（x）=t₁只有1解，f（x）=3有兩解，
∴f（f（x））=$\frac{{e}^{3}}{3}$有3解．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．