【題目】已知橢圓的離心率為,左焦點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線的斜率為1時(shí),.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,求面積的最大值.

【答案】(1)(2)

【解析】

(1)由題意可得 ,,從而得到橢圓的方程;

(2) 設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理表示面積,結(jié)合均值不等式即可得到最值.

(1)方法一:∵,∴,又,∴.

∴當(dāng)直線的斜率為1時(shí),直線通過橢圓的上頂點(diǎn),∴.

,,∴,橢圓的方程為.

方法二:設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,在中,,,,

,即. ①

又∵,∴. ②

聯(lián)立①②有,,又,∴.

∴橢圓的方程為.

方法三:∵,∴,又,∴.

∴橢圓的方程可化為,即. ①

又直線的方程為. ②

聯(lián)立①②有,即,∴.

直線的斜率為1且軸上方,∴,∴的坐標(biāo)為.

,∴,又,∴.

∴橢圓的方程為.

(2)∵軸上方,∴直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為.

,,三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,∴直線不垂直于軸,∴,

設(shè)的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為,則的坐標(biāo)為.

聯(lián)立,有,即,

,.

方法一: ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

面積的最大值為.

方法二:直線的方程為,令,則

∴直線過定點(diǎn),設(shè)定點(diǎn)為,則

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2018年的政府工作報(bào)告強(qiáng)調(diào),要樹立綠水青山就是金山銀山理念,以前所未有的決心和力度加強(qiáng)生態(tài)環(huán)境保護(hù).某地科技園積極檢查督導(dǎo)園區(qū)內(nèi)企業(yè)的環(huán)保落實(shí)情況,并計(jì)劃采取激勵(lì)措施引導(dǎo)企業(yè)主動(dòng)落實(shí)環(huán)保措施,下圖給出的是甲、乙兩企業(yè)2012年至2017年在環(huán)保方面投入金額(單位:萬元)的柱狀圖.

(Ⅰ)分別求出甲、乙兩企業(yè)這六年在環(huán)保方面投入金額的平均數(shù);(結(jié)果保留整數(shù))

(Ⅱ)園區(qū)管委會(huì)為盡快落實(shí)環(huán)保措施,計(jì)劃對(duì)企業(yè)進(jìn)行一定的獎(jiǎng)勵(lì),提出了如下方案:若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額不超過200萬元,則該年不獎(jiǎng)勵(lì);若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額超過200萬元,不超過300萬元,則該年獎(jiǎng)勵(lì)20萬元;若企業(yè)一年的環(huán)保投入金額超過300萬元,則該年獎(jiǎng)勵(lì)50萬元.

(ⅰ)分別求出甲、乙兩企業(yè)這六年獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和;

(ⅱ)現(xiàn)從甲企業(yè)這六年中任取兩年對(duì)其環(huán)保情況作進(jìn)一步調(diào)查,求這兩年獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和不低于70萬元的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,為線段的中點(diǎn),為線段上的一點(diǎn).

(1)證明:平面平面.

(2)若,二面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,其中點(diǎn)在以為直徑的圓上,,,平面平面.

1)證明:平面.

2)求二面角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下四個(gè)結(jié)論

ACBD;

ACD是等邊三角形;

AB與平面BCD成60°的角;

AB與CD所成的角是60°.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】袋子中有四個(gè)小球,分別寫有“和、平、世、界”四個(gè)字,有放回地從中任取一個(gè)小球,直到“和”“平”兩個(gè)字都取到就停止,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用0,1,2,3代表“和、平、世、界”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示取球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下24個(gè)隨機(jī)數(shù)組:

232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100

231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132

由此可以估計(jì),恰好第三次就停止的概率為( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

2)若只有一個(gè)零點(diǎn),且,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有下列四個(gè)命題:①“若,則,互為倒數(shù)”的逆命題;②“面積相等的三角形全等”的否命題;③“若,則有實(shí)數(shù)解”的逆否命題;④“若,則”的逆否命題.其中真命題為________(填寫所有真命題的序號(hào)).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形中,分別是的中點(diǎn)將分別沿折起,使重合于點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是( )

A.

B. 平面

C. 二面角的余弦值為

D. 點(diǎn)在平面上的投影是的外心

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案