Question

9．以拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F為圓心的圓交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于C、D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是矩形，則圓的方程為（　�。�

• A． x²+（y-1）²=3
• B． x²+（y-1）²=4
• C． x²+（y-1）²=12
• D． x²+（y-1）²=16

Answer 1

分析 連接AC，BD，拋物線的定義與性質(zhì)求出圓心坐標(biāo)為F（0，1），|FA|=|FB|，設(shè)圓的半徑r，∠FAB=θ，則A（rcosθ，1+rsinθ），而A在拋物線上，化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：如圖，連接AC，BD，拋物線x²=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，1），
由拋物線的定義與性質(zhì)可知圓心坐標(biāo)為F（0，1），|FA|=|FB|，設(shè)圓的半徑r，
∠FAB=θ，則A（rcosθ，1+rsinθ），而A在拋物線上，
故r²cos²θ=4+4rsinθ，又rsinθ=2，所以$sinθ=\frac{1}{2}$，$θ=\frac{π}{6}$，∴r=4，
所求圓的方程為：x²+（y-1）²=16．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與圓的方程的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．