Question

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．
（1）若a＝3，b＝，求c；
(2)求的取值范圍．

Answer 1

（1）c＝4(2)(－1，1)

試題分析：（1）由cosC＝sin(－C)．結(jié)合條件可得A－B＋C＝，從而B＝，再利用余弦定理求出c；
（2）結(jié)合B＝，利用正弦定理和兩角差的正弦將原式化為sin(2A－),由A的范圍可得原式的范圍.
試題解析：解：（1）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．
∵△ABC是銳角三角形，∴A－B＝－C，即A－B＋C＝，①
又A＋B＋C＝π，②由②－①，得B＝．
由余弦定理b²＝c²＋a²－2cacosB，得()²＝c²＋(3)²－2c×3cos，
即c²－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．
當c＝2時，b²＋c²－a²＝()²＋2²－(3)²＝－4＜0，
∴b²＋c²＜a²，此時A為鈍角，與已知矛盾，∴c≠2．
故c＝4．                             6分
（2）由（1），知B＝，∴A＋C＝，即C＝－A．
∴＝＝＝sin(2A－)．
∵△ABC是銳角三角形，∴＜A＜，∴－＜2A－＜，
∴－＜sin(2A－)＜，∴－1＜＜1．
故的取值范圍為(－1，1)．               12分